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La Meccanica Quantistica con il
metodo della somma sui molti cammini di Feynman


GUIDA AGLI ESPERIMENTI

La legge di Wien e il corpo nero

Considerazioni teoriche

La legge del corpo nero è estremamente difficile da verificare sperimentalmente (occorre poter fare misure di illuminamento a diverse lunghezze d'onda) e da derivare teoricamente, sia nella formulazione finale di Planck sia nelle leggi approssimate di Rayleigh-Jeans (basse frequenze) che di Wien (alte frequenze).
Più accessibile invece è la legge dello spostamento di Wien, che stabilisce una proporzionalità inversa fra la lunghezza d'onda al picco dello spettro e la temperatura, espressa in gradi kelvin, del corpo che emette:

legge di Wien

Il processo fisico che avviene nell'emissione della luce è sostanzialmente una trasformazione di energia termica in energia radiante. Un semplice modello che possiamo fare è rileggere la legge di Wien in questo modo:

legge di Wien

dove c è la velocità della luce e A=3*10-3 m*K è la costante di eq. 1. Nella relazione, il primo membro può essere interpretato come rappresentativo dell'energia termica e il secondo dell'energia radiante: la legge di Wien è quindi una descrizione della trasformazione di energia termica in energia radiante.
La temperatura assoluta è legata all'energia termica con una relazione di proporzionalità diretta. Si può stabilire il legame usando la teoria cinetica dei gas o la meccanica statistica e la costante di proporzionalità è la costante di Boltzmann kB= 8,6 *10-5 eV. Se non è nota la teoria cinetica, si può passare attraverso la legge dei gas perfetti. Per una mole di sostanza, abbiamo:

legge dei gas perfetti

RT rappresenta appunto l'energia termica, con R, costante dei gas perfetti, pari a 8,3 J K-1 mol-1: dividendo per il numero di Avogadro NA = 6,0 ×1023 mol-1, che è appunto il numero di molecole per mole, si ottiene la costante di Boltzmann kB e quindi kB T come valore dell'energia termica per molecola. Moltiplicando ambo i membri della (2) per kB, abbiamo:

formula

La novità della legge di Wien sta nell'ultimo membro dell'equazione, perché mostra che l'energia termica si trasforma in energia radiante in modo proporzionale alla frequenza della radiazione luminosa. Perché è una novità? Perché, dall'elettromagnetismo classico ci saremmo aspettati un legame dell'energia termica del corpo che emette con l'intensità della radiazione luminosa prodotta, ma non con la sua frequenza!
Questo è anche il significato della relazione di Planck,

formula di Planck

che Planck derivò dall'analisi dello spettro completo del corpo nero e non solo dalla posizione del picco: la relazione indica appunto che lo scambio di energia fra radiazione e materia avviene per quanti di energia e che il valore dell'energia del singolo quanto è pari al prodotto della costante h per la frequenza.
Avendo riscritto la relazione di Wien nella forma data dall'equazione (4), possiamo calcolare il valore della costante B, che ha chiaramente le dimensioni di un'azione, cioè di un tempo per un'energia e quindi ci aspettiamo che sia parente con la costante di Planck h. Infatti B vale:

formula

Osservazioni e misure sperimentali

  1. Una prima osservazione, a livello qualitativo e puramente percettivo, si può fare facilmente usando una lampadina a incandescenza alimentata con un trasformatore o un "varialuce" che permette di variare con continuità la tensione di alimentazione: si osserva facilmente che, a bassa tensione, l'intensità luminosa è bassa e anche il colore della luce è rossiccio, ad alta tensione l'intensità aumenta e anche il colore si sposta verso il bianco, cioè si arricchisce di luce azzurra a bassa lunghezza d'onda. Contemporaneamente si può percepire qualitativamente che la temperatura aumenta.
    L'esperimento mostra quindi che ci sono almeno tre grandezze in gioco:
    - l'intensità luminosa
    - la lunghezza d'onda della luce (cioè il colore della luce)
    - la temperatura
    e che c'è una correlazione inversa fra lunghezza d'onda e intensità luminosa o temperatura. L'aspetto nuovo e importante di questo semplice esperimento è proprio in questa relazione inaspettata fra intensità luminosa e temperatura da un lato e lunghezza d'onda dominante della radiazione emessa: infatti ci si aspetta una relazione fra intensità luminosa e temperatura, perché entrambe sono intuitivamente collegabili all'energia (radiante la prima, termica la seconda) ma non fra temperatura e lunghezza d'onda.

  2. Un esperimento, sempre a livello qualitativo, ma un po' più avanzato, si può fare mettendo a valle della lampada una fenditura ragionevolmente stretta, una lente convergente e un reticolo, come in figura. La fenditura serve a definire il fascio spazialmente, la lente a rendere i raggi paralleli, il reticolo a separare i colori, dando le due immagini al primo ordine diffrattivo. Abbassando l'intensità della luce, si osserva che per primo "scompare" il blu, poi il verde e per ultimo, a intensità molto basse, rimane il rosso (in realtà si continua a vedere una traccia anche di arancio).

esperimento



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Aggiornato il 1 Febbraio 2001.

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