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Il metodo della "somma sui molti cammini" di Feynman per
l'introduzione della Meccanica Quantistica nella Scuola Secondaria

La rifrazione

Fra le strane caratteristiche dell'oggetto quantistico, che percorre simultaneamente tutti i cammini permessi, c'è anche quella che non si può mai essere sicuri al 100% che l'oggetto quantistico "arrivi" nel punto in cui c'è il rivelatore oppure che "non arrivi", come avviene invece per un oggetto classico, che sicuramente arriva se parte con la giusta direzione della velocità e non incontra ostacoli che intercettano la sua traiettoria, mentre non arriva se manca una delle due condizioni.

Per l'oggetto quantistico, proprio a causa dei "molti cammini", non c'è mai un chiaro "SI" o un netto "NO", ma solo una certa probabilità, che varia al variare dei parametri del moto, della posizione degli ostacoli frapposti sui cammini, della posizione del punto in cui si vuole rivelare l’oggetto quantistico e infine anche della velocità con cui si può muovere lungo i cammini.

Per esplorare come varia la probabilità quantistica proprio nella situazione in cui l’oggetto si muove con diversa velocità in due diversi "mezzi" che si trova ad attraversare, abbiamo supposto una sorgente nel punto A, con posizione yA>0 che si può variare lungo una retta posta a una distanza DA da una fenditura simmetrica rispetto al punto y=0. Il punto B, dove è posto il rivelatore, è supposto in una posizione yB<0, che si può variare lungo una retta posta a una distanza DB dalla fenditura. Occorre specificare inizialmente, oltre ai dati usuali, anche le posizioni yA e yB e il valore delle lunghezze di de Broglie nei due mezzi (il foglio è predisposto per un fotone), avendo cura di dare una lunghezza più lunga nel secondo mezzo.

Nel calcolo verranno tracciati "tutti i cammini possibili" che attraversano la fenditura, come nel foglio "Fey-l-tutorial.xls", calcolando sia la spirale di Cornu sia il valore della sovrapposizione in funzione della larghezza della fenditura, come in "Fey-l-sovrapposizione.xls": lo scopo è trovare il valore di yB che rende massima la sovrapposizione. Anziché tracciare subito tutti i possibili cammini che attraversano la fenditura e procedere per tentativi per ottimizzare yB, inizialmente si considerano solo due cammini, quello che passa per il centro della fenditura e il cammino contiguo, e si fa variare yB in passi regolari fra il punto che si trova sulla congiungente di A con il centro della fenditura e il valore yB=0 calcolando per ogni posizione la differenza fra i vettori di fase. La posizione migliore è quella per la quale tale differenza è più prossima a zero, perché sarà anche quella che darà la massima sovrapposizione.

Calcolando, per la posizione di B ottimizzata, il rapporto fra il seno dell’angolo di incidenza sulla superficie della fenditura e il seno dell’angolo di uscita (rifrazione) dalla fenditura si ottiene un valore prossimo al rapporto fra la lunghezza di de Broglie nel secondo mezzo e quella nel primo mezzo (legge di Snell).

Uno sviluppo interessante, che è possibile proprio per le potenzialità del metodo, è di indagare fino a che punto deve essere "liscia" la superficie di separazione fra i due mezzi. Questa simulazione viene fatta nel secondo foglio dello stesso file, in cui si varia a caso, per ogni punto di attraversamento della fenditura, la posizione precisa del passaggio fra i due mezzi di diversa velocità di propagazione, scoprendo quale è la massima variazione al di sopra della quale la spirale di Cornu si deforma irrimediabilmente.




Il foglio "rifrazione" in "Fey-rifrazione.xls"

3) l'ottimizzazione fine della posizione yB viene poi fatta manualmente, per piccole variazioni, fino a ottenere una spirale di Cornu completamente simmetrica.

Calcolando, per la posizione di B ottimizzata, il rapporto fra il seno dell'angolo di incidenza sulla superficie della fenditura e il seno dell'angolo di uscita (rifrazione) dalla fenditura si ottiene un valore prossimo al rapporto fra la lunghezza di de Broglie nel secondo mezzo e quella nel primo mezzo (legge di Snell).




Il foglio "rifrazione random" in "Fey-rifrazione.xls"

Quando la massima rugosità s raggiunge o supera il valore di l, la forma della spirale è completamente deteriorata!
Last modified: Wed May 8 10:23:24 CEST 2002