Il metodo della "somma sui molti cammini" di Feynman per
l'introduzione della Meccanica Quantistica nella Scuola Secondaria

 L'oggetto quantistico: ipotesi e regole

L'ipotesi di partenza di Feynman è la relazione di Planck:

che lega l'energia E alla frequenza f attraverso il quanto di azione h. Fin dall'inizio, Feynman evita di parlare esplicitamente di "particelle" o di "onde" per non creare associazioni mentali fuorvianti; pertanto noi chiameremo per brevità oggetto quantistico l'oggetto che si comporta in un "modo quanto meccanico"

Esaminiamo prima il comportamento di un oggetto massivo, perché classicamente sappiamo descriverlo più facilmente con la meccanica newtoniana, in particolare facciamo l'ipotesi che nello spazio in cui andiamo a esaminare il suo moto non ci siano campi di forza, quindi il moto è, classicamente, "rettilineo-uniforme". Per fissare le idee pensiamo a un elettrone, ma nei calcoli lasceremo poi la possibilità di variare la massa m dell'oggetto per esplorare che cosa succede per masse diverse.

Supponiamo di avere in un certo punto A una sorgente da cui partono gli elettroni con una certa energia cinetica E, e di mettere in un punto B, posto a una certa distanza D, un rivelatore: per fissare le idee, la sorgente potrebbe essere un filamento caldo come quello di un tubo televisivo, e il rivelatore una emulsione fotografica o uno schermo fosforescente, o un qualunque dispositivo che segnala l'arrivo dell'elettrone. Le dimensioni della sorgente in A e del rivelatore in B siano completamente trascurabili rispetto alla distanza D e a qualunque altra distanza che entrerà in gioco.

Figura 1

Vediamo prima che cosa ci aspettiamo per un elettrone che ha un comportamento classico e che segue quindi una traiettoria rettilinea (per semplicità supponiamo che fra A e B non ci sono campi di forza): perché arrivi in B basta che sia emesso da A con una direzione della velocità compresa in un cono che intercetta la zona in cui c'è il rivelatore.

Figura 2

Se mettiamo, nella zona fra A e B, degli ostacoli che possano bloccare interamente un elettrone di quella energia, possono succedere solo due cose, nettamente distinte:

• nessun ostacolo intercetta la traiettoria dell'elettrone e allora l'elettrone arriva in B come se gli ostacoli non ci fossero (Figura 3a),
• uno degli ostacoli la intercetta e allora l'elettrone non arriva più per nulla (Figura 3b).

Figura 3

L'effetto è quindi di tipo "SI o NO": non ci sono situazioni intermedie (con il rivelatore vedremmo che l'intensità del segnale resta immutata oppure che va a zero). Nel seguito, faremo riferimento a una situazione semplificata, schematizzata in Figura 4, in cui c'è un ostacolo, posto a distanza D_Adalla sorgente, con una fenditura di larghezza D_trasv proprio in corrispondenza della traiettoria dell'elettrone: l'elettrone passa, indipendentemente della larghezza della fenditura, quindi siamo nella situazione di tipo "SI". Se però la larghezza fosse così piccola da bloccarlo, si passerebbe bruscamente alla situazione di tipo"NO".

Figura 4

Per un "oggetto quantistico" invece non si può pensare a niente di simile a una "traiettoria", cioè a una sequenza di posizioni ben definite e perfettamente determinabili se si conosce la velocità iniziale e il campo di forze. Per Feynman l'oggetto quantistico di energia E è definito, oltre che dalle grandezze già note dalla meccanica classica, quali massa, velocità e quantità di moto, anche dalla frequenza f, legata all'energia E dalla relazione di Planck (eq. 1).

E' proprio questa frequenza la caratteristica nuova dell'oggetto quantistico, che manca assolutamente nell'oggetto classico e dalla quale seguono le proprietà peculiari dell'oggetto quantistico che ne determinano il moto.

• La prima proprietà è che, avendo una frequenza propria, l'oggetto quantistico ha una "periodicità intrinseca", con un periodo T pari all'inverso della frequenza. Feynman infatti parla di un "orologio interno" ("stopwatch"), che gira nel tempo con un periodo T=1/f.

• La seconda proprietà è che, come per tutti i fenomeni periodici, lo stato dell'oggetto quantistico si ripete in modo identico solo a distanza di un periodo, ma, all'interno del periodo, lo stato passa attraverso fasi diverse, che si ripetono identicamente nel periodo successivo (come fanno ad esempio le oscillazioni verticali di una molla, che passano per una fase in cui l'ampiezza dell'oscillazione è massima verso il basso, poi tornano alla posizione di equilibrio iniziale per proseguire con una oscillazione verso l'alto e così via). Feynman suggerisce di visualizzare la fase pensando alla lancetta dell'immaginario orologio e definire la fase j come l'angolo fra una direzione di riferimento e la direzione a cui essa punta a un certo istante, come in figura 5. Chiameremo vettore di fase il vettore di lunghezza unitaria associato a questa lancetta ideale.



Figura 5

• La terza caratteristica è il cammino l percorso dall'oggetto quantistico mentre la sua fase fa un giro completo di 2p. Tale cammino dipende dalla quantità di moto p dell'oggetto e si calcola dalla relazione di de Broglie [nota a]:

l = h / p (2)

Naturalmente non dobbiamo prendere alla lettera la rappresentazione dell'orologio interno e immaginare l'oggetto quantistico come una specie di "signore" che viaggia effettivamente con un orologio al collo e guarda continuamente dove punta la sua lancetta! Si tratta solo di un artifizio per rendere più chiaro il significato del calcolo matematico e nel seguito lo utilizzeremo proprio in questo senso, cioè come una rappresentazione "pittorica" della fase. Un esempio è visualizzato in Figura 6: l'oggetto quantistico è diventato un omino che parte da A e viaggia con il suo orologio e relativo vettore di fase, il cammino che segue non è necessariamente rettilineo, ciò che importa è che, mentre percorre il cammino, l'orologio gira passando periodicamente per le stesse fasi e dopo un percorso pari a l torna ad avere la stessa fase.

Figura 6

Vediamo ora come da queste tre caratteristiche si calcola, nel modello di Feynman, il moto dell'oggetto quantistico. Le regole per il calcolo sono giustificate dal fatto che, applicandole, si riesce a descrivere tutti i dati sperimentali relativi al moto degli oggetti e che si ritrova la descrizione classica del moto nelle condizioni in cui si può considerare trascurabile l'effetto della costante di Planck (cioè quando le variazioni dell'azione coinvolte nel moto sono molto più grandi della costante di Planck: questo è il principio di corrispondenza). Le regole sono le seguenti.

1. I cammini
   Anzitutto, partendo da A, l'oggetto quantistico non è obbligato a seguire una traiettoria particolare, come farebbe l'oggetto classico (ad esempio la linea retta in assenza di forze, oppure la traiettoria calcolabile con la legge della meccanica newtoniana in presenza di forze), ma esplora tutti i cammini possibili: questo perché, abbandonando la legge di Newton, non c'è più nessun motivo di imporre che la posizione a un certo istante sia necessariamente quella calcolabile a partire dalla posizione nell'istante precedente secondo la legge di Newton. In Figura 7, mostriamo un esempio di cammini possibili, che conducono da A a B (ma ce ne sono molti altri, che non disegniamo sia per chiarezza sia perché sarebbe impossibile tracciarli proprio tutti!):



Figura 7

2. I vettori di fase
   

   Lungo ogni cammino, il vettore di fase gira e compie un giro intero ogni tratto pari a λ quindi i vettori di fase, con cui l'oggetti quantistico arriva in B, sono diversi per i diversi cammini, come mostrato in Figura 8, perché i cammini hanno lunghezze diverse.

   

   Figura 8

   Attenzione: è lo stesso oggetto che ha contemporaneamente tutti i diversi vettori di fase quando arriva in B, non sono 5 diversi oggetti quantistici! Questo è ovviamente difficile da capire per la nostra mentalità classica, perché non riusciamo a immaginare come qualche oggetto possa avere contemporaneamente delle caratteristiche diverse, ma è una delle "regole del gioco" che va accettata: da essa infatti dipende la regola di "sovrapposizione" che discuteremo più avanti.

3. Cammini obbligatori e cammini proibiti
   Come fa l'oggetto quantistico a scegliere i cammini da percorrere? La regola è semplice: deve percorrere tutti i cammini che non sono esplicitamente proibiti. Sono proibiti quei cammini lungo i quali c'è un ostacolo impenetrabile. In Figura 9, ad esempio, mostriamo degli ostacoli che non intercettano i cammini 1, 2, 4, 5, mentre intercettano il cammino 3: in B, all'oggetto quantistico mancherà quindi il vettore di fase che corrispondeva a questo cammino.

   

   Figura 9

   Attenzione: i cammini non esplicitamente proibiti dalla presenza di un ostacolo non solo sono permessi, ma anzi sono obbligatori! Anche questa regola è difficile da capire per la nostra mentalità classica, ma dovremo tenerne conto quando faremo i calcoli, perché dovremo essere sicuri di includere tutti i cammini possibili





4. La probabilità quantistica
   Se confrontiamo la figura 9 con le analoghe figure del caso classico (Figura 3), vediamo subito che, in presenza di ostacoli, la situazione quantistica è molto diversa da quella classica: infatti non potranno mai esserci dei casi semplici di ostacoli che non disturbano per niente la traiettoria (come in Figura 3a) o che la distruggono totalmente (come in Figura 3b), ma ci saranno sempre degli ostacoli che disturbano qualche cammino, ma non tutti, mentre sarà difficile che un ostacolo sia completamente innocuo, perché intercetterà sicuramente almeno qualche cammino. La situazione quantistica quindi non potrà essere una situazione netta di "SI" o "NO" come quella dell'oggetto classico, che "arriva" o "non arriva" al rivelatore posto in B a seconda della posizione degli ostacoli che possono bloccarlo, ma sarà necessariamente sfumata. Avremo cioè solo una risposta probabilistica, nel senso che si potrà solo calcolare la probabilità che il rivelatore segnali il passaggio dell'oggetto, cioè la probabilità che ci sia un'interazione fra l'oggetto e il rivelatore posto nel punto B.





5. La sovrapposizione dei vettori di fase
   Siamo così giunti alla regola finale, che ci permetterà di calcolare la probabilità quantistica che il rivelatore segnali il passaggio dell'oggetto: la probabilità dipende dai diversi cammini che l'oggetto può esplorare per arrivare in B. Ogni cammino dà infatti un contributo, che dipende dal valore della sua fase nel punto B, e che può essere sia positivo che negativo: questo è l'aspetto tipicamente quantistico ed è legato proprio al fatto che, come visto sopra, l'oggetto ha un suo orologio interno, il quale gira mentre l'oggetto viaggia accumulando diversi sfasamenti lungo i diversi cammini che hanno lunghezze diverse, e quindi arriva in B con diversi vettori di fase. Poiché però l'oggetto è unico, la sua interazione con il rivelatore non dipende da un particolare vettore di fase, ma dalla sovrapposizione di tutti i vettori (principio di sovrapposizione): sommando tutti i vettori di fase, si ottiene un vettore risultante il cui modulo al quadrato è proporzionale alla probabilità che l'oggetto quantistico interagisca con il rivelatore posto in B (nel seguito chiameremo brevemente "sovrapposizione" S il modulo a quadrato del vettore risultante). In figura 10 mostriamo, come esempio, la sovrapposizione dei vettori di fase dei 5 cammini ipotizzati nel caso di Figura 8:

   

   Figura 10

   Si vede chiaramente che i vettori 3 e 4 sono parzialmente in controfase rispetto ai vettori 1 e 5, per cui i contributi in parte cancellano e il vettore risultante r non ha il massimo valore che potrebbe avere se tutti e 5 i vettori fossero completamente in fase fra di loro. Che significato ha il valore della sovrapposizione S, cioè del modulo al quadrato del vettore r? La regola ci dice che S è proporzionale alla probabilità, ma per calcolare la probabilità occorrerebbe conoscere la costante di proporzionalità, cioè sommare tutti i possibili vettori di fase. Ciò è ovviamente molto difficile, quel che faremo sarà invece di calcolare la probabilità relativa, confrontando la sovrapposizione in situazioni diverse, ad esempio in presenza di ostacoli diversi.
   In Figura 11 è mostrata ad esempio la sovrapposizione per il caso di Figura 9, in cui uno dei cammini era intercettato da un ostacolo:

   

   Figura 11

   Come si vede, il vettore risultante è un po' ridotto, anche se la riduzione non è fortissima, perché abbiamo tolto un vettore di fase che contribuiva poco alla somma: l'aver messo un ostacolo che ha bloccato uno dei cammini ha quindi diminuito la probabilità di rivelare l'oggetto quantistico in B, anche se non l'ha completamente annullata.
   
   Attenzione: il fatto che la risultante r sia ridotta, non significa che l'oggetto quantistico verrà rivelato parzialmente, ad esempio con una parte ridotta della sua energia, come saremmo portati a pensare per analogia con certe situazioni "classiche" . Per un oggetto quantistico, un valore di S ridotto significa che è ridotta la probabilità che l'oggetto venga rivelato, ma quando è rivelato, l'oggetto quantistico è rivelato interamente, con tutta le sue caratteristiche, quali energia, quantità di moto, ecc. In questo senso, la risposta del rivelatore è ancora di tipo SI o NO, ma, a differenza di quel che avviene classicamente, non è sempre di tipo SI o sempre di tipo NO, a seconda della posizione dell'ostacolo, ma ha una certa probabilità di essere di tipo SI e una certa probabilità di essere di tipo NO e questa probabilità può essere calcolata dal valore della sovrapposizione S. Ad esempio se la probabilità fosse del 25%, significherebbe che su 100 oggetti lanciati, solo per 25 ci sarebbe una risposta di tipo SI, mentre per gli altri 75 la risposta sarebbe di tipo NO: per degli oggetti classici, invece, la risposta sarebbe o di tipo SI per tutti e 100, oppure di tipo NO per tutti e 100.

La relazione (2) fu dedotta da de Broglie nel 1921, partendo dall'interpretazione che Bohr aveva dato nel 1911 della quantizzazione dell'energia degli elettroni atomici, cioè del fatto che, apparentemente, gli elettroni atomici hanno solo certe orbite stazionarie. De Broglie dedusse la sua relazione in un "modello ondulatorio" dell'elettrone, cioè pensando all'elettrone come un'onda che si propaga nello spazio, con una lunghezza d'onda l data dalla (2) e una frequenza f data dalla relazione di Planck (1): in un'onda, infatti, la lunghezza d'onda è definita proprio come la distanza fra due picchi, cioè come la distanza fra due punti in cui l'onda ha la stessa fase.

Seguendo l'approccio di Feynman, noi preferiamo non far riferimento esplicito a un modello ondulatorio e quindi non parlare esplicitamente di lunghezza d'onda di de Broglie, ma definire l secondo quello che è il suo significato fisico: distanza spaziale fra due punti in cui l'oggetto ha la stessa fase.

Volendo invece attenersi al modello ondulatorio di de Broglie, va chiarito un aspetto relativo alla "velocità dell'onda". In un'onda meccanica classica, infatti, la velocità dell'onda si calcola dal rapporto fra lunghezza d'onda e periodo, quindi vale v_f = l / T, dove il pedice f della velocità sta a ricordare che si tratta della velocità con cui viaggia una certa fase dell'onda, ad esempio il picco (uno dei modi di misurare v_f è proprio di fissare l'attenzione sul picco dell'onda, fotografando la distanza fra due picchi a un certo istante). Se facciamo lo stesso calcolo per l'onda che descrive l'oggetto quantistico, ricavando l dalla (2) e T=1/f dalla (1), troviamo:

quindi la "velocità di fase" v_f è la metà della velocità effettiva (detta anche "velocità di gruppo") dell'oggetto quantistico. Questa relazione tra velocità di fase e velocità di gruppo vale per valori della velocità molto minori del valore della velocità della luce e deriva dal fatto che, per tali valori, la velocità dipende dall'energia. Avvicinandosi alla velocità della luce, la velocità di fase diventa sempre più prossima a quella di gruppo (fino a coincidere per il fotone, che, nel vuoto, viaggia sempre alla velocità della luce, indipendentemente dalla sua energia!).