La Meccanica Quantistica con il
metodo della somma sui molti cammini di Feynman

R.Gilmore, Alice nel paese dei quanti, Cortina

Per questo rispetto l'energia non è affatto simile al danaro. Ben si conserva il danaro nel periodo breve. Laddove Lei voglia avere danari per un qualche Suo scopo, non dovrà Lei prenderlo in qualche luogo? Lo potrà ritirare dal suo conto corrente, potrà averlo in prestito da qualcheduno, o anche potrà rubarlo!"
"Non lo farei mai!", proruppe Alice, indignata, ma il Ragioniere Indeterminato l'ignorò, continuando il ragionamento.
"Poco dunque ci importi da quale luogo Lei lo prenderà. Ma da qualche luogo esso dovrà venire. Se Lei lo avrà, possederà più danaro, e dunque qualcheduno ne avrà meno. A ogni modo, è questo ciò che accade nell'immediatezza del periodo breve.
"Nel lungo periodo la questione la va diversamente: può esservi inflazione e Lei potrà trovare sempre e sempre più denaro circolante. Ciascheduno ne ha di più, ora: eppure, sembra non avere più il suo pristino potere d'acquisto. Incerto qual rispetto, l'energia funziona in modo del tutto contrario. Nel lungo periodo si conserva, la sua quantità totale rimane sempre la medesima, e Lei non troverà mai niente di simile all'inflazione economica. Ogni anno Le sarà mestieri avere sempre mediamente la medesima quantità di energia per operare una transizione di stato all'interno di un atomo. Ma nel breve periodo, no , l'energia non, è ben conservata. Una particella può accaparrarsi l'energia che le è di fabbisogno per qualche suo scopo senza che essa debba provenire da nessun altro luogo. Essa si manifesta meramente come una quantica fluttuazione. Fluttuazioni queste che conseguono dalla relazione di indeterminazione: `La quantità. di energia che si possiede è indeterminata, e tanto più breve è il lasso di tempo durante il quale la si possiede, tanto più indeterminata è la quantità che se ne ha'."
"Mi fa girare la testa... mi sembra che tutto ciò mi confonda parecchio le idee", disse Alice.
Non me ne parli nemmeno!", rispose il suo mentore enfaticamente. "È proprio così! Come pensa Lei che si debba sentire un povero contabile quando le cifre che dovrebbe erigere in certo e sicuro bilancio fluttuano senza posa?"
"Mio Dio, dev'essere terribile", esclamò Alice con empatia. "E come ci riesce?"
"Orbene, è mio costume cercare di impiegare quanto più tempo posso per chiudere i miei conti. E questo mi fornisce un qualche modico aiuto. .Lei ben m' insegna che tanto più lungo è il lasso di tempo che io vi impiego, tanto più piccole saranno le fluttuazioni residue. Ma ahimè, qui ognuno diventa impaziente e tutti vengono a chiedermi se ho deciso di passare l'Eternità prima di presentare i conti. E questo, Lei m'insegna, sarebbe il solo modo di poterli veramente far quadrare", continuò accalorandosi. "Quanto più tempo vi impiegassi, tanto minori e minori sarebbero allora le fluttuazioni energetiche. Ah! Potessi io impiegarvími per sempre, che allora nessuna fluttuazione rimarrebbe e i miei conti perfettamente si equilibrerebbero! ", esclamò trionfalmente. "Ma, ahimè!, non mi lasciano alla pace dei miei registri. Ciascheduno qui è troppo impaziente, e ansioso a ogni istante di andarsene di qui, pronto per perpetrare le sue transizioni da uno stato all'altro."...

"Guarda come sono fatte le onde sotto la freccia verde!", strillò il Meccanico, che era eccitatissimo - senza alcuna necessità, a parere di Alice. Lei fece però come le diceva e vide che nel punto indicato l'acqua era rialzata in entrambe le situazioni. "Ciascun foro del muretto ha prodotto un'onda che in un punto particolare si innalza: quando entrambi i fori sono aperti qui l'onda è due volte più alta, e complessivamente la salita e la discesa dell'acqua è molto maggiore che quando c'è un buco solo. Questa è ciò che si chiama interferenza costruttiva".
"Ora guarda che succede alle onde sotto la freccia rossa". Alice si rese conto che mentre uno dei due fori in quel punto produceva un innalzamento, l'altro produceva un avvallamento della superficie. "Tu capisci che in questa posizione l'onda che viene da un buco va su, mentre l'altra si abbassa: quando sono presenti tutte e due insieme, si cancellano l'un 1'altra, e l'effetto globale è nullo. Questa è ciò che si chiama interferenza distruttiva".
"Questo è tutto ciò che c'è veramente da dire sull'interferenza delle onde. Quando due onde si sovrappongono e si combinano una con l'altra, le loro ampiezze (cioè, come ti ho già detto, quanto vanno in su o in giù) fanno altrettanto. In alcuni punti le onde che danno un contributo al fenomeno vanno tutte nella stessa direzione, così i disturbi si sommano e si ottiene un effetto maggiore. In altri vanno invece in direzioni diverse e si cancellano una con l'altra".
"Sì, credo di star cominciando a seguirLa", disse Alice. "Sta dicendo che le porte della Banca Heisenberg funzionavano come le fessure del muretto e facevano una specie di effetto più grosso nel posto dove avevo bisogno di andare, mentre in altri luoghi si cancellavano a vicenda. Però non riesco a capire come l'interferenza possa funzionare nel mio caso. Con le onde dell'acqua Lei ha detto che c'è un onda più grossa in un posto e più piccina in un altro perché c'è questa interferenza. Ma io non sono un'onda. Le onde si diffondevano su tutta la superficie, mentre io sono sempre in un solo posto alla volta”. “Giustissimo!” tuonò trionfalmente il Meccanico Classico. “Questo è il problema. Hai detto bene: tu sei in uno e in un sol posto alla volta. Sei un qualcosa che assomiglia di più a una particella che a un'onda. E le particelle si comportano in modo molto diverso nel Mondo Classico (che é un posto sensato!) Un'onda viene diffusa in un'area vasta e in qualunque luogo di quest'area se ne può osservare solo una piccola porzione. L'interferenza può far sì che in diversi luoghi se ne possa ottenere di più o di meno, ma è sempre solo una piccola parte dell'onda quello che vedi. Una particella, invece, è collocata in un qualche punto. Se guardi in posti diversi, o ci trovi la particella tutt'intera o, semplicemente, lì la particella non c'è per niente. Nella meccanica classica non è questione di particelle che mostrino effetti di interferenza. Adesso ti faccio vedere".
Si rivolse al pavimento della Sala Gedanken, fissandolo attentamente. La superficie si trasformò da acqua che era in un'area liscia fatta di piastre d'acciaio, con barriere corazzate tutt'íntorno, alte abbastanza da potercisi nascondere dietro. Verso il mezzo del pavimento, dove era emerso dall'acqua quel basso muricciolo, ora c'era un alta barriera corazzata, con una stretta feritoia leggermente a sinistra del centro. "Ecco ; adesso abbiamo là stessa messinscena di prima, ma l'ho un po’ cambiata in modo da poter osservare particelle veloci. Che poi sono qualcosa che va come un proiettile, perciò useremo proprio dei proiettili".

Fece un gesto verso un'estremità della sala e apparve spiacevole a vedersi - una mitragliatrice con molte scatole di munizioni accanto. "Questa mitragliatrice non è montata in modo fisso, e non spara sempre nella stessa direzione. Alcune pallottole colpiranno la feritoia nella barriera e ci passeranno attraverso, come faceva una parte dell'onda nel nostro recentissimo esperimento mentale. La maggior parte di esse, ovviamente, colpiranno l'acciaio e rimbalzeranno via. Accidenti! ora che mi viene in mente", aggiunse improvvisamente, "faremmo meglio a indossare questi, nel caso ci colpisse qualche pallottola vagante". Tirò fuori due elmetti di acciaio e ne passò uno ad Alice. "Ma ci servono davvero?", si informò Alice. "Pensavo che visto che è solo un esperimento mentale anche quelli fossero proiettili mentali e non ci potessero far del male." "Beh, sarà anche così. Ma ti potrebbe venire in mente che sei stata colpita da un proiettile, e non credo che sarebbe molto divertente, no?"

Alice si infilò l'elmetto. Le dava una gran noia tenerselo in testa e non poteva far a meno di pensare che non servisse proprio a un bel niente, ma continuare a discutere non pareva molto opportuno. Il Meccanico, dritto in piedi, fece un gesto imperioso con la mano e la mitragliatrice cominciò a sparare facendo un baccano infernale. Sputava proiettili a fiumi, in modo irregolare; per la maggior parte colpivano lo schermo corazzato e fischiavano via in tutte le direzioni; ma alcuni passavano attraverso la feritoia della barriera e colpivano il muro opposto. Alice era stupefatta: quando una pallottola toccava il muro, si arrestava immediatamente per poi mettersi lentamente in posizione verticale, rimanendo sospesa in aria proprio davanti al punto di impatto con il muro.
"Come puoi notare, l'onda dell'acqua si diffondeva lungo tutto il muro opposto, ma un proiettile colpisce solo in un punto. Tuttavia, in questo esperimento la probabilità che un proiettile colpisca il muro di fondo opposto alla feritoia è maggiore di quella che rimbalzi sul bordo della feritoia e finisca di lato, parecchio lontano. Se aspettiamo un po', potremo vedere come varia la probabilità per i vari punti del muro." Via via che il tempo passava e l'aria si riempiva di pallottole vaganti, il numero di quelle che se ne stavano sospese in aria davanti al muro aumentava stabilmente. Alice poteva ormai distinguere che si stava sviluppando una tendenza ben definita. "Ecco, ora puoi vedere come i proiettili che sono passati per la feritoia si sono distribuiti lungo il muro", osservò il Meccanico, e la mitragliatrice si acquietò. "La maggior parte è finita direttamente davanti alla feritoia, e il numero decresce costantemente se ci si posta, su entrambi i lati. Ora vediamo un po' che succede se apriamo una feritoia a destra invece che a sinistra." Un altro gesto con la mano e la feritoia si spostò un po' a destra del centro, i proiettili sospesi in aria caddero a terra e la mitragliatrice ricominciò a sparare. Nonostante che la dimostrazione fosse piuttosto fracassona e la mettesse tutta sottosopra, per quanto Alice poteva vedere il risultato finale fu esattamente lo stesso della volta prima. Francamente, era alquanto deludente.
"Come certamente noti" - disse il Meccanico con malriposta fiducia - "la distribuzione è simile a quella precedente, ma è leggermente spostata a destra, perché il centro è opposto al nuovo punto in cui si trova ora la feritoia." Alice non vedeva nessuna differenza, ma era già preparata ad accettare la sua parola.
"Ora", fece il Meccanico con aria drammatica, "guarda che succede se apriamo entrambe le feritoie." Proprio come prima, ad Alice non riuscì di notare la minima differenza, se non nel fatto che essendoci due feritoie aperte, c'erano più proiettili che colpivano il muro di fondo. Questa volta però decise di dire la sua: "Io non lo so, ma mi sembra proprio la stessa cosa tutte le volte", fece con l'aria di scusarsi.
"Esattamente! ", ribatté il Meccanico tutto soddisfatto. "Eccetto che - come certamente avrai notato - il centro della distribuzione si trova ora opposto al punto di mezzo fra le due feritoie. Abbiamo una distribuzione di probabilità per i proiettili che passano attraverso la feritoia di destra, una per quelli che passano a sinistra. Quando sono entrambe aperte, i proiettili passano attraverso tutte e due le feritoie, cosicché la distribuzione globale è data dalla somma delle probabilità che abbiamo per ciascuna delle due feritoie prese singolarmente, perché i proiettili devono passare attraverso una o l'altra delle due, ma non possono passare attraverso entrambe. Non è vero?" Queste ultime parole erano rivolte al Meccanico Quantistico che stava entrando nella Sala proprio in quel momento. "Questo lo dici tu", rispose il suo collega, "ma come fai a esserne sicuro? Guardate un po' che succede se ripetiamo il tuo esperimento gedanken con degli elettroni. A sua volta il Meccanico quantistico cominciò a fare gesti in direzione del pavimento. Non erano così decisi come quelli del collega, ma sembrava che funzionassero altrettanto bene.

Scomparve la mitragliatrice insieme con le piastre corazzate. Il pavimento ritornò a essere di quello strano materiale luccicante che Alice aveva visto all'inizio, ma l'ormai familiare barriera con due fenditure vicino al centro se ne rimase lì a dividere a metà la stanza. Sul muro di fondo era ora apparso un grande schermo che mandava una luminescenza verdastra. "Quello è uno schermo fluorescente", mormorò il Meccanico all'orecchio di Alice. "Fa un lampo. di luce quando un elettrone lo colpisce, così lo si può utilizzare per individuare dove si trovano."
Dalla parte opposta della stanza, sul pavimento, dove prima c'era stata la mitragliatrice, c'era ora un altro ordigno. Era un affarino piccolo, simile a una versione in miniatura dei cannoni per sparare gli acrobati che a volte si vedono nei circhi.

"Che roba è?", chiese Alice. "Cosa vuoi che sia? Un cannone elettronico, ovviamente." Alice guardò più attentamente e poté vedere che c'era' una corta scaletta che conduceva fino alla bocca del cannone e una fila di elettroni che aspettavano di essere sparati. Sembravano parecchio più piccoli dell'ultima volta che li aveva visti. "È chiaro!", disse fra sé e sé. "Questi sono soltanto elettroni mentali." Mentre li stava osservando, rimase stupita di vederli girarsi e farle cenno con la manina. "Ma come fanno a conoscermi?", si chiese. "Devono essere per forza tutti lo stesso elettrone che ho conosciuto prima!" "Fuoco!", ordinò il Meccanico Quantistico e gli elettroni cominciarono a correre su per la scaletta e a tuffarsi nel cannone che li sparava via con un flusso ininterrotto. Alice non riusciva a distinguerli mentre erano in volo, ma vedeva un lampo di luce brillante sullo schermo, ogni volta che uno di essi lo colpiva. Quando la luce si smorzava, lasciava una stellina luccicante sullo schermo che restava lì a marcare la posizione in cui l'elettrone era arrivato. Come era successo prima con la mitragliatrice, il cannone elettronico continuò a sparare il suo flusso di elettroni, e l'ammasso di stelline luccicanti cominciò ad assumere una distribuzione riconoscibile. In un primo momento Alice non era ben sicura di ciò che vedeva, ma via via che il numero di stelline sullo schermo andava crescendo diventava chiaro che la loro distribuzione era assai diversa da quella rappresentata dal precedente ammasso di proiettili.

I proiettili si erano distribuiti con una lenta e continua diminuzione verso i lati a partire dal numero massimo nel centro. Le stelline invece si erano sistemate in strisce verticali lasciando dei vuoti scuri fra l'una e l'altra. Alice si rese conto che in qualche modo la situazione assomigliava a quella che aveva visto nel caso delle onde, in cui c'erano regioni di forte attività separate da aree più calme. Ora c'erano delle regioni in cui erano stati individuati molti elettroni, e fra l'una e l'altra di queste ce n'erano andati a finire molto pochi. Non fu dunque una gran sorpresa per lei che il Meccanico Quantistico dicesse:
"Ecco, vedete: un chiaro effetto di interferenza. Nel caso delle onde nell'acqua avevate ottenuto regioni in cui c'era più o meno moto in superficie. Ora ogni elettrone è andato a colpire una sola posizione, ma la probabilità di scoprire il luogo in cui un elettrone ha colpito varia da una posizione all'altra.
La distribuzione delle differenti intensità d'onda che avete osservato prima è ora rimpiazzata da una distribuzione di probabilità. Con uno o due elettroni una tale distribuzione non è ovvia, ma usando un sacco di elettroni se ne trovano di più nelle regioni di probabilità maggiore. Se avessimo tenuto aperta una, sola fenditura avreste potuto vedere che la distribuzione sarebbe andata calando in modo continuo e tranquillo da entrambe i lati, proprio come nel caso dei proiettili o delle onde nell'acqua quando c'era una sola fenditura aperta. In questo caso vediamo invece che, quando sono aperte tutte e due le fenditure, le ampiezze che provengono da esse interferiscono e producono dei picchi e degli avvallamenti nella distribuzione di probabilità. Il comportamento degli elettroni è del tutto diverso da quello delle tue pallottole, vecchio mio", concluse rivolgendosi al Meccanico Classico.
Ma Alice era interdetta. "Non capisco", disse. Le sembrava che da un po' di tempo non le riuscisse di profferire altro. "Vuol dire che ci sono così tanti elettroni che riescono a passare che in qualche modo gli elettroni che passano da uno dei buchi interferiscono con quelli che passano dall'altro?"
No, non intendo questo, assolutamente no. Guarda che succede se spariamo un solo elettrone alla volta." Batté le mani e gridò: "OK! Facciamolo ancora, ma piano, questa volta". Gli elettroni si misero di nuovo in azione, o, per essere più precisi, uno di loro si arrampicò fino al cannone e si fece sparare contro la barriera. Gli altri se ne rimasero lì dov'erano. Dopo un po' un altro elettrone andò ad arrampicarsi e fu sparato. La cosa andò avanti per un po' di tempo e Alice poté vedere che andava formandosi la stessa figura fatta di gruppi fitti intervallati da vuoti. Questa volta non era così evidente come prima perché, vistò il ritmo lento con cui gli elettroni arrivavano allo schermo, non ce n'erano molti nei gruppi più fitti, ma lo schema generale era abbastanza evidente. "Ecco, puoi vedere che l'effetto di interferenza si verifica anche quando c'è un solo elettrone presente in ogni istante. Un elettrone da solo può esibire l'interferenza. Può passare attraverso tutte e due le fessure e interferire con sé stesso, se così si può dire."
"Ma questa è una sciocchezza!", esclamò Alice. "Un elettrone non può passare attraverso entrambe le fessure. Non è una cosa sensata, come ha detto lui", disse accennando al Meccanico Classico che la ricambiò con un'occhiata piena di comprensione. Alice si diresse alla barriera per riuscire a sbirciane da vicino cosa succedesse. Voleva provare a vedere dove andavano gli elettroni mentre passavano attraverso le fessure. Sfortunatamente l'illuminazione si era nel frattempo fatta piuttosto scarsa e gli elettroni si muovevano così velocemente che non riusciva a distinguere attraverso quale fessura passassero. "È tutto ridicolo qui! ", pensò Alice. "Mi serve più luce." Aveva dimenticato di trovarsi nella Sala Gedanken e rimase un po' spaventata quando le apparve accanto un riflettore montato sul suo cavalletto. Subito diresse la luce verso le fessure e con suo gran compiacimento scoprì che si vedeva ora un lampo vicino alla fenditura attraverso cui passava l'elettrone. " Ce l'ho fatta!", gridò entusiasta. "Riesco a vedere gli elettroni che passano attraverso le fessure, ed è proprio come dicevo io: ciascuno di essi passa da una parte o dall'altra."
"Ah, ma davvero?", ribatté il Meccanico Quantistico con un tono molto particolare. "Ma hai provato a guardare se sullo schermo c'è sempre la figura di interferenza?" Alice si girò a guardare e con sua meraviglia e confusione vide che ora la distribuzione cadeva dal massimo centrale con continuità verso i lati, proprio come era successo con le pallottole del Meccanico Classico. Sembrava che qualcosa non andasse per il verso giusto.
"Succede sempre così: non ci puoi fare nulla", la consolò il Meccanico Quantistico. "Se non hai nessuna osservazione che ti mostri da quale foro passano gli elettroni, allora ottieni gli effetti di interferenza fra le due fenditure. Se ti metti a osservare gli elettroni, scopri che effettivamente si trovano o, in un posto o nell'altro. Ma in questo caso si comportano anche come ti aspetteresti chi facessero se devono passare attraverso uno solo dei due fori e allora non hai più l'interferenza. Il problema è che non c'è modo di osservare gli elettroni senza disturbarli, come quando gli hai puntato addosso il riflettore, e il solo fatto di compiere l'osservazione costringe gli elettroni a scegliere un tipo di azione. Non importa se prendi o non prendi nota di quale fenditura l'elettrone attraversi E non im­porta nemmeno se tu ti rendi conto di quale sia la fenditura attraverso cui passa. Qualunque osservazione che possa dirtelo disturberà l'elettrone e fermerà l'interferenza. Gli effetti di interferenza si verificano soltanto quando non c'è modo di poter sapere in quale fessura passi l'elettrone. Che tu poi lo sappia o no, non ha alcuna importanza.
"Così, come vedi, quando c'è interferenza sembrerebbe che ciascun elettrone passi per entrambe le fessure. Se fai la prova e controlli, scoprirai che gli elettroni passano attraverso una fessura sola, ma allora ciao interferenza! Non puoi vincere a questo gioco."
Alice rimase pensierosa per qualche istante, poi sbottò: "Ma è completamente ridicolo! ".
"Certo che lo è", fece il Meccanico Classico, uscendo dalla Sala Gedanken con aria alquanto scocciata. Il Quantistico invece sorrideva compiaciuto: "Sono d'accordo anch'io, è piuttosto ridicolo, ma, guarda caso, sembra proprio il modo con cui funziona la Natura, e ci tocca a adattarci. Complementarità, dico io!".
" Mi spiegherebbe per piacere che cosa vuol dire con complementarità?", chiese Alice.
"E perché no? Complementarità per me vuol dire che ci sono certe cose che non si possono. conoscere, non tutte in una volta almeno.
" Ma la parola complementarità non vuol dir questo! ", protestò Alice.
"Sì, quando la uso io", ribatté il Meccanico. "Le parole significano quello che scelgo io. E' solo questione di chi è il padrone, tutto qui. Complementarità, dico io!"
"L'ha già detto prima", puntualizzò Alice, che non era poi tanto convinta di questa sua ultima asserzione.
"No che non l'ho detto. Questa volta significa che ci sono domande che non si possono porre a proposito di una particella quali, per esempio, dove si trovi e, al tempo stesso, che velocità abbia. In effetti, non ha nemmeno un vero senso parlare di un elettrone come se avesse una posizione precisa."
"Per essere una parola sola deve significare un bel po' di roba! ", fece Alice, piuttosto acidamente.
"Questo di sicuro", ribatté il Meccanico. "Ma quando faccio fare gli straordinari a una parola la pago sempre di più. Temo di non poterti spiegare veramente che cosa succeda agli elettroni. Normalmente si chiede che una spiegazione abbia senso in termini di cose che già si conoscono, e questo la fisica quantistica non lo fa. Sembra un nonsense, però funziona. Probabilmente non si sbaglia a dire che nessuno capisce veramente la meccanica quantistica: come faccio io a spiegartela? Però posso dirti come descriviamo quello che succede. Vieni con me nella stanza qui dietro e cercherò di fare del mio meglio.

Lasciarono la Sala Gedanken, il cui pavimento aveva ripreso il suo luccicante aspetto originale, seguendo poi il corridoio fino a un'altra stanza arredata con poltroncine disposte qua e là. Si misero comodi e il Meccanico Quantistico continuò. "Quando parliamo di una situazione, tipo quella degli elettroni che passano attraverso le fessure, la descriviamo con un'ampiezza. Si tratta di qualcosa di simile alle onde che hai visto, e in effetti vien spesso chiamata anche funzione d'onda L'ampiezza può passare attraverso tutte e due fenditure, e non è sempre positiva, come una probabilità La probabilità minima che puoi avere è zero, ma l'ampiezza può essere negativa o positiva, dimodoché parti di traiettorie diverse si possono cancellare o sommarsi e produrre interferenza, di nuovo proprio come con le onde nell'acqua."
"Ma allora dove sono le particelle?", chiese Alice. "Attraverso quale fessura passano veramente?"
"L'ampiezza non ti dice nulla su questo, in effetti.. Però, se fai il quadrato dell'ampiezza, se cioè la moltiplichi per sé stessa in modo da ottenere un qualcosa di sicuramente positivo, allora essa ti dà una distribuzione di probabilità. Se scegli una posizione qualunque questa distribuzione ti dirà la probabilità di trovarvi una particella quando vai a osservare."
"E questo è tutto ciò che potete dire?", esclamò Alice Devo dire che mi suona molto insoddisfacente. Non si sa mai dove trovare qualcosa."
"Sì, c'è del vero. Per una particella non si può dire dove la troverai, se non che non sarà in una posizione in cui la probabilità è nulla, ma questo è banale. Se però hai un gran numero di particelle, allora puoi essere ben sicura che ne troverai di più dove la probabilità è alta e molte, molte meno dove è più bassa. Se ne hai poi un numero veramente grande, allora si può dire in modo piuttosto accurato quante finiranno qui e quante là.

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Aggiornato il 1 Febbraio 2001.