Il metodo della "somma sui molti cammini" di Feynman per
l'introduzione della Meccanica Quantistica nella Scuola Secondaria

L'oggetto quantistico

L'oggetto quantistico è, per così dire, un'invenzione di Feynman.

Fin dall'inizio del suo libro "QED, la strana teoria della luce", Feynman infatti dice chiaramente che, se vogliamo capire come avviene il moto nelle condizioni estreme in cui è obbligatorio ricorrere alle leggi della meccanica quantistica, perché le leggi classiche sono inadeguate, dobbiamo staccarci, anche nel linguaggio, dal modo di esprimersi proprio della meccanica classica, che è anche quello a noi più congegnale, dato che, in fondo, anche noi siamo degli oggetti "classici".

Vediamo che cosa dice Feynman:

Dato che le associazioni mentali, evocate dall'uso di certe parole come "onda" o "corpuscolo", sono fuorvianti, chiameremo per brevità oggetto quantistico l'oggetto che si comporta in un "modo quanto-meccanico". Potrà essere l'elettrone o la luce o un atomo o anche un oggetto molto complesso con massa elevata, perché il comportamento quanto-meccanico è osservabile non solo in particelle elementari o molto semplici, ma in via di principio in qualunque oggetto, basta mettersi nelle condizioni adatte ed avere la tecnica di rivelazione adatta.

Ma come è definito questo oggetto? Feynman parte dalla relazione di Planck:

che lega l'energia E alla frequenza f attraverso il quanto di azione h.

Da questa relazione Feynman deduce una serie di conseguenze che permettono di calcolare il moto dall'oggetto quantistico: la conseguenza principale è che, a differenza dell'oggetto classico che segue una traiettoria ben definita dalla legge di Newton, l'oggetto quantistico segue contemporaneamente molti cammini, anzi deve seguire obbligatoriamente tutti i cammini che non sono esplicitamente proibiti!

In Ipotesi e regole vengono spiegate le regole di Feynman per il calcolo dello strano moto dell'oggetto quantistico: è importante leggerle e capirle prima di affrontare le applicazioni proposte negli esempi. Le applicazioni riguardano dei moti semplici, ma che permettono di approfondire le varie caratteristiche più o meno strane dell'oggetto quantistico. Ciascun esempio è associato a un foglio elettronico che permette di eseguire i calcoli.

Impostazione dei calcoli I primi calcoli hanno lo scopo di far acquistare famigliarità con le regole del moto, in particolare sull'aspetto più nuovo e strano che è quello dei "molti cammini". Prima di addentrarsi nelle varie applicazioni, conviene leggere questa pagina, in cui si descrive il moto semplice, che verrà esaminato nelle applicazioni successive: c'è una "sorgente", da cui parte l'oggetto quantistico, e un "rivelatore", che ne rivela il passaggio e, fra sorgente e rivelatore, sono posti degli "ostacoli", che bloccano alcuni dei possibili cammini. Occorre preliminarmente capire quali sono i parametri, come impostare il calcolo del vettore di fase e come sommare i vettori di fase per ottenere la sovrapposizione dei vettori, che è legata alla probabilità di rivelazione dell'oggetto quantistico.

Tutorial: si seguono in dettaglio tutti i calcoli per il moto più semplice, in cui fra la "sorgente", da cui parte l'oggetto quantistico, e il "rivelatore", che ne rivela il passaggio, sono posti degli ostacoli che lasciano aperta una fenditura simmetrica rispetto alla congiungente. Si impara a calcolare i vettori di fase corrispondenti ai diversi cammini e la loro sovrapposizione. Vengono offerti due esempi, che danno due punti di vista complementari sui "molti cammini", ed è bene esaminare almeno uno dei due prima di affrontare i calcoli successivi. 

- Tutorial-s, associato al foglio Fey-s-tutorial.xls: si inizia con una fenditura molto stretta, per cui passa un solo cammino, e poi la si allarga aggiungendo altri cammini,

- Tutorial-l, associato al foglio Fey-l-tutorial.xls: si inizia con una fenditura larga, per cui si fanno passare fin dall'inizio molti cammini.

I cammini e gli ostacoli: è un calcolo che aiuta a capire il ruolo degli ostacoli, cioè che cosa succede se si bloccano alcuni cammini. Gli ostacoli sono infatti cruciali nel calcolo del moto dell'oggetto quantistico, perché rappresentano l'unico modo di limitare spazialmente i cammini possibili: ma si vedrà, con questo foglio che permette di aggiungere ostacoli sul varco lasciato dalle barriere poste come nel "Tutorial", che non sempre le cose vanno come aspettato!

La guida al foglio si trova in "I cammini e gli ostacoli", il foglio associato è Fey-ostacoli.xls.

Oscillazioni: è un calcolo che aiuta a capire il significato della probabilità quantistica. Fra le strane caratteristiche dell'oggetto quantistico c'è infatti anche quella che non si può essere sicuri al 100% che l'oggetto quantistico "arrivi" nel punto in cui c'è il rivelatore oppure che "non arrivi", come avviene invece per un oggetto classico, che sicuramente arriva se parte con la giusta direzione della velocità e non incontra ostacoli che intercettano la sua traiettoria mentre non arriva se manca una delle due condizioni. Per l'oggetto quantistico, proprio a causa dei "molti cammini", non c'è mai un chiaro "SI" o un netto "NO", ma solo una certa probabilità, che varia al variare della posizione degli ostacoli frapposti sui cammini. In questo calcolo si esplora che cosa succede man mano che si allarga la fenditura posta fra le barriere, come già fatto nel "Tutorial-s", però si aggiungono moltissimi cammini fino ad arrivare a una fenditura molto grande e si tiene traccia, man mano che si allarga la fenditura, della probabilità di rivelare l'oggetto. Si scopre così che la probabilità oscilla, con delle oscillazioni che via via si attenuano, fino a diventare molto piccole, indice del raggiungimento della situazione di certezza "classica". Vengono offerti due fogli:

- Tutorial sulle oscillazioni, associato al foglio Fey-tutorial-oscillazioni.xls: ripercorre inizialmente, in modo dettagliato, tutta la costruzione dei cammini a partire dalla fenditura stretta per cui passa un solo cammino, e può quindi essere seguito anche da chi non ha ancora seguito i calcoli del foglio "Tutorial-s",

- Oscillazioni, associato al foglio Fey-oscillazioni.xls: richiede di saper già costruire i vettori di fase e calcolare la loro sovrapposizione, avendo, ad esempio, già eseguito i calcoli del foglio "Tutorial-s".

Ombre: è un calcolo che aiuta a capire il significato della probabilità quantistica. Fra le strane caratteristiche dell'oggetto quantistico c'è infatti anche quella che non si può essere sicuri al 100% che l'oggetto quantistico "arrivi" nel punto in cui c'è il rivelatore oppure che "non arrivi", come avviene invece per un oggetto classico, che sicuramente arriva se parte con la giusta direzione della velocità e non incontra ostacoli che intercettano la sua traiettoria mentre non arriva se manca una delle due condizioni. Per l'oggetto quantistico, proprio a causa dei "molti cammini", non c'è mai un chiaro "SI" o un netto "NO", ma solo una certa probabilità, che varia al variare della posizione degli ostacoli frapposti sui cammini. In questo calcolo si esplora che cosa succede man mano che si sposta uno dei bordi della fenditura posta fra le barriere, fino a far entrare il punto dove è posto il rivelatore nella zona dell'ombra geometrica, e si esamina come varia la probabilità di rivelare l'oggetto. Si scopre così che la probabilità diventa piccola e oscilla, con delle oscillazioni che via via si attenuano, fino a diventare molto piccole, indice del raggiungimento della situazione di certezza "classica" di "non rivelazione".

La guida al foglio si trova in "Ombre", il foglio associato è Fey-Ombre.xls

Diffrazione: è un calcolo che permette di esplorare che cosa succede mettendo il rivelatore in punti diversi. Fra le strane caratteristiche dell'oggetto quantistico c'è infatti anche quella che non si può essere sicuri al 100% che l'oggetto quantistico "arrivi" in un ben determinato punto, oppure che "non arrivi", come avviene invece per un oggetto classico, che sicuramente arriva se parte con la giusta direzione della velocità e non incontra ostacoli che intercettano la sua traiettoria, mentre non arriva se manca una delle due condizioni. Per l'oggetto quantistico, proprio a causa dei "molti cammini", non c'è mai un chiaro "SI" o un netto "NO", ma solo una certa probabilità, che varia al variare della posizione relativa degli ostacoli frapposti sui cammini. In questo calcolo si esplora che cosa succede man mano che si sposta la posizione del rivelatore rispetto alla posizione della sorgente e degli ostacoli. Si scopre così che la probabilità di rivelazione varia gradualmente, con delle oscillazioni che via via si attenuano, intorno a valori che diventano sempre più piccoli, man mano che il rivelatore si sposta nell'ombra geometrica della fenditura, indice del raggiungimento della situazione di certezza "classica".

La guida al foglio si trova in "Diffrazione", il foglio associato è Fey-diffrazione.xls.