Il metodo della "somma sui molti cammini" di Feynman per
l'introduzione della Meccanica Quantistica nella Scuola Secondaria
L'oggetto quantistico: le oscillazioni della probabilità quantistica
Fra le strane caratteristiche dell'oggetto quantistico, che percorre simultaneamente tutti i cammini permessi, c'è anche quella che non si può mai essere sicuri al 100% che l'oggetto quantistico "arrivi" nel punto in cui c'è il rivelatore oppure che "non arrivi", come avviene invece per un oggetto classico, che sicuramente arriva se parte con la giusta direzione della velocità e non incontra ostacoli che intercettano la sua traiettoria, mentre non arriva se manca una delle due condizioni. Per l'oggetto quantistico, proprio a causa dei "molti cammini", non c'è mai un chiaro "SI" o un netto "NO", ma solo una certa probabilità, che varia al variare dei parametri del moto e della posizione degli ostacoli frapposti sui cammini.
Per esplorare come varia questa probabilità quantistica, abbiamo supposto una fenditura simmetrica rispetto alla congiungente dei punti A e B e tracciato "tutti i cammini possibili" che attraversano la fenditura. Il criterio ordinatore adottato è lo stesso di quello del "Tutorial-s", in cui si inizia con una fenditura stretta e con un solo cammino e si allarga la fenditura rendendo via via possibili altri cammini. In questo foglio si arriva ad avere un numero grandissimo di cammini, in modo da cominciare a vedere significative oscillazioni della probabilità di rivelazione.
Abbiamo predisposto allo scopo due fogli di lavoro:
il foglio "Fey-osc-tutorial.xls": fa percorrere ordinatamente tutta la costruzione dei vettori di fase a partire da una fenditura molto stretta per la quale passa un solo cammino e poi la allarga progressivamente, come nel foglio Fey-s-tutorial.xls. Contemporaneamente, si tiene traccia del variare della sovrapposizione dei vettori di fase e si può quindi costruire, man mano che la fenditura si allarga, il grafico della sovrapposizione in funzione della larghezza della fenditura,
il foglio "Fey-oscillazioni.xls": richiede di conoscere già come si calcolano i vettori di fase e la loro somma e in particolare di conoscere il foglio Fey-s-tutorial.xls. A partire dai vettori di fase, il foglio permette di calcolare direttamente e rappresentare in un grafico la sovrapposizione in funzione della larghezza della fenditura.
Un tutorial sulle oscillazioni: foglio "Fey-osc-tutorial.xls"
Il numero di oscillazioni cresce al crescere della quantità di moto, mentre la larghezza della fenditura per la quale le oscillazioni intorno al valor medio diventano piccole diminuisce al crescere della quantità di moto dell'oggetto quantistico. Il valor medio intorno a cui S oscilla può essere considerato indicativo della situazione "classica", nella quale la probabilità è indipendente dai bordi della fenditura.
Oscillazioni: foglio "Fey-oscillazioni.xls"
L'inizio è, concettualmente, lo stesso del foglio Fey-s-tutorial.xls e viene dato per noto (chi sentisse il bisogno di ripercorrerlo passo per passo può rivedere il foglio Fey-s-tutorial.xls). Lo riassumiamo schematicamente.
Supponiamo quindi che questo lavoro sia stato fatto, con tutti i controlli del caso, allargando la fenditura fino a includere 201 cammini e che i vettori di fase siano tabulati. Il foglio parte appunto da qui e, per prima cosa permette di graficare la somma dei vettori e vedere in tutto il suo sviluppo la spirale di Cornu:
Avendo a disposizione tutti i vettori di fase di tutti i cammini, si può procedere a sommarli partendo dai cammini centrali e includendo via via i cammini vicini: si ottiene così, per ogni numero n di cammini sommati, la risultante r e la sovrapposizione S = r2. Questo valore di S è uguale a quello che avremmo ottenuto per una larghezza della fenditura tale da lasciare passare solo quei cammini e bloccare gli altri: tale larghezza è calcolabile, noto n e la spaziatura fra cammini contigui all'attraversamento della fenditura.
Il numero di oscillazioni cresce al crescere della quantità di moto, mentre la larghezza della fenditura per la quale le oscillazioni intorno al valor medio diventano piccole diminuisce al crescere della quantità di moto dell'oggetto quantistico. Il valor medio intorno a cui S oscilla può essere considerato indicativo della situazione "classica", nella quale la probabilità è indipendente dai bordi della fenditura.